第一课教案

课题： 数列的通项公式与前n项和

一、教学目标。

（一）知识教学点：

1.数列的通项公式

2.数列的前项和

（二）能力训练点： 

1.如何理解数列的通项公式

2.直接观察规律求通项

3.根据数列的前n项和求通项

二、教学重点、难点、疑点及解决办法。

1．教学重点：对数列的通项及数列的前n项和的理解；会直接观察规律求通项

2．教学难点：理解和之间的关系，并会利用求通项

 三、教学步骤。

1.数列的通项公式

    如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 
　  如数列：

0，1，2，3，…的通项公式为；

1，1，1，…的通项公式为；

1，，，…的通项公式为.

注意：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式；

（2）一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…

它的通项公式可以是，也可以是；

（3）数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项；

（4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．

2. 数列的前项和

数列的前项逐个相加之和：；

当时，；

当时，，.

故.

例1  写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是：

  （1）0，，，，…；     （2）1，，，，…；

  （3）9，99，999，9999，…；  （4）6，1，6，1，….

解：（1）将数列改写为，，，，…， 故：.

（2）此数列奇数项为正，偶数项为负，可用来表示；其绝对值中分子为奇数数列，分母是自然数的平方数列，故.

（3）将数列改写为，，，，…，故.

（4）将数列每一项减去6与1的平均值得新数列，，，，…，

 故或

总结：写通项时注意以下常用思路：

①若数列中的项均为分数，则先观察分母的规律再观察分子的规律，如(1)；特别注意有时分数是约分后的结果，要根据观察还原分数；

②注意(－1)n在系数中的作用是让数列中的项正、负交替出现，如(2)；(-1)n作指数，让数列中隔项出现倒数； 

③（4）可视为周期数列，故想到找一个周期为2的函数为背景；

④归纳猜想的关键是从特殊中去寻找一般规律，很多情况下是将已写出的项进行适当的变形，使规律明朗化.

变式训练1 根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：

（1）3，5，9，17，33，…；  （2）1，，，，…；

（3）0，1，0，1，0，1，…； （4），，，，…；

变式训练2  某数列的前四项为0，，0，，则以下各式：

①；         ②；      ③；

其中可作为的通项公式的是（   ）

 A.①            B.①②            C.②③             D.①②③

【反思归纳】

（1）联想和转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法；

（2）求数列的通项公式，应运用观察、分析、归纳、验证的方法.易错之处在于每个数列由前几项找规律不准确，以及观察、分析、归纳、验证这四个环节做的不够多，应注意对每一数列认真找出规律和验证.

例2  已知下列数列的前项和，分别求它们的通项公式.

（1）； （2）.

解：（1）当时，，

  当时，.

  当时，，

.

（2）当时，，

当时，.

当时，，

.

例3  已知数列的前项和公式，求通项.

（1）；　（2）.

解：当时，；

当时，；

（2）当时，；

　   当时，；

     为所求.

总结：已知求出依据的是的定义：，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式.

变式训练1 已知数列的前项和，求通项.

变式训练2 已知数列的前项积，求通项.

变式训练3 已知数列的前项和满足，求的通项公式.

反思归纳：任何一个数列，它的前项和与通项都存在关系：若适合，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示.

四、作业布置。

五、教学反思。

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